Chứng minh đẳng thức: cách chứng minh và bài tập Ôn tập Toán 9

Bạn đang xem bài viết ✅ Chứng minh đẳng thức: cách chứng minh và bài tập Ôn tập Toán 9 ✅ tại website Neu-edutop.edu.vn có thể kéo xuống dưới để đọc từng phần hoặc nhấn nhanh vào phần mục lục để truy cập thông tin bạn cần nhanh chóng nhất nhé.

Chứng minh đẳng thức tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách chứng minh, ví dụ minh họa kèm theo các dạng bài tập có đáp án và tự luyện khác nhau ở nhiều mức độ.

Cách chứng minh đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 8, lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10. Đây là một trong những dạng toán khó thường xuất hiện vào câu hỏi để lấy điểm tối đa. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về đẳng thức. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các bạn xem thêm một số tài liệu như: chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m, chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Mục Lục Bài Viết

I. Cách chứng minh đẳng thức

Áp dụng phép nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức với đa thức. Chúng ta biến đổi:

Tham Khảo Thêm: Đánh Giá Trường THPT Lương Sơn Tỉnh Hòa Bình Có Tốt Không?

+ Cách 1: Vế trái và chứng minh bằng vế phải

+ Cách 2: Vế phải và chứng minh bằng vế trái

+ Cách 3: Vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức.

II. Ví dụ chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: $x = sqrt[3]{{a + frac{{a + 1}}{3}.sqrt {frac{{8a - 1}}{3}} }} + sqrt[3]{{a - frac{{a - 1}}{3}.sqrt {frac{{8a - 1}}{3}} }}$ với $a geqslant frac{1}{8}$ là số tự nhiên. ${left( {x + y} right)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xyleft( {x + y} right)$

Gợi ý đáp án

Áp dụng hằng đẳng thức:

Ta có:

$begin{matrix} {x^3} = 2a + left( {1 - 2a} right)x hfill \ Leftrightarrow {x^3} + left( {2a - 1} right)x - 2a = 0 hfill \ Leftrightarrow left( {x - 1} right)left( {{x^2} + x + 2a} right) = 0 hfill \ end{matrix}$

Xét đa thức bậc hai ${x^2} + x + 2a$ có $Delta = 1 - 8a geqslant 0$

Khi $a = frac{1}{8}$ ta có: $x = sqrt[3]{{frac{1}{8}}} + sqrt[3]{{frac{1}{8}}} = 1$

Khi $a > frac{1}{8}$ ta có: $Delta = 1 - 8a < 0$ nên đa thức có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy với $a geqslant frac{1}{8}$ mọi ta có $x = sqrt[3]{{a + frac{{a + 1}}{3}.sqrt {frac{{8a - 1}}{3}} }} + sqrt[3]{{a - frac{{a - 1}}{3}.sqrt {frac{{8a - 1}}{3}} }} = 1$ là số tự nhiên.

Ví dụ 2: Biết rằng $left( {x + sqrt {{x^2} + 2015} } right)left( {y + sqrt {{y^2} + 2015} } right) = 2015$ . Tính tổng x + y.

Gợi ý đáp án

Ta có: $left( {x + sqrt {{x^2} + 2015} } right)left( {x + sqrt {{x^2} + 2015} } right) = {x^2} + 2015 - {x^2} = 2015$

Kết hợp với giả thiết ta suy ra:

$begin{matrix} sqrt {{x^2} + 2015} - x = sqrt {{y^2} + 2015} + y hfill \ Rightarrow sqrt {{y^2} + 2015} + y + sqrt {{x^2} + 2015} + x = sqrt {{x^2} + 2015} - x + sqrt {{y^2} + 2015} - y hfill \ Leftrightarrow x + y = 0 hfill \ end{matrix}$

Vậy tổng x + y = 0

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: $frac{1}{{sqrt 1 + sqrt 2 }} + frac{1}{{sqrt 3 + sqrt 4 }} + .... + frac{1}{{sqrt {79} + sqrt {80} }} > 4$

Gợi ý đáp án

Xét các biểu thức:

$begin{matrix} A = dfrac{1}{{sqrt 1 + sqrt 2 }} + dfrac{1}{{sqrt 3 + sqrt 4 }} + .... + dfrac{1}{{sqrt {79} + sqrt {80} }} hfill \ B = dfrac{1}{{sqrt 2 + sqrt 3 }} + dfrac{1}{{sqrt 4 + sqrt 5 }} + .... + dfrac{1}{{sqrt {80} + sqrt {81} }} hfill \ end{matrix}$

Dễ thấy A > B

Ta có:

$A + B = frac{1}{{sqrt 1 + sqrt 2 }} + frac{1}{{sqrt 3 + sqrt 4 }} + ....$

$+ frac{1}{{sqrt {79} + sqrt {80} }} + frac{1}{{sqrt 2 + sqrt 3 }} + frac{1}{{sqrt 4 + sqrt 5 }} + .... + frac{1}{{sqrt {80} + sqrt {81} }}$

Mặt khác ta có:

$frac{1}{{sqrt a + sqrt {a + 1} }} = frac{{sqrt {a + 1} - sqrt a }}{{left( {sqrt {a + 1} + sqrt a } right)left( {sqrt {a + 1} - sqrt a } right)}} = sqrt {a + 1} - sqrt a$

Suy ra $A + B = left( {sqrt 2 - sqrt 1 } right) + left( {sqrt 3 - sqrt 2 } right) + ... + left( {sqrt {81} - sqrt {80} } right) = sqrt {81} - 1 = 8$

=> A > B

=> 2A > A + B = 8

=> A > 4

III. Bài tập chứng minh đẳng thức (Có đáp án)

Bài tập 1. Chứng minh: (x² – xy – y).(x + y) + xy(y + 1) = x³ – y²

Lời giải

Ta có: VT = (x² – xy – y).(x + y) + xy(y + 1)

= x³ + x²y – x²y – xy² – xy – y² + xy² + xy

= x³ – y² = VP

Bài tập 2. Chứng minh 2x + y + y² = (1 – xy + y).(2x + y) + xy(2x + y – 2)

Chứng minh.

Ta có VP = (1 – xy + y).(2x + y) + xy(2x + y -2)

= 2x + y – 2x²y – xy² + 2xy + y² + 2x²y + xy² – 2xy

= 2x + y + y² = VT

Bài tập 3. Chứng minh: (x²y + xy²).(x – y) = xy(x – y).(x + y)

Chứng minh

+ Ta có:

VT = (x²y + xy²).(x – y)

Tham Khảo Thêm: Cách chuyển ảnh thành bảng trong Excel

= x³y – x²y² + x²y² – xy³ = x³y – xy³ (1)

VP = xy(x – y).(x + y)

= xy.(x² – y²) = x³y – xy³ (2)

Từ (1) và (2) suy ra VT= = VP.

Bài tập 4. Chứng minh rằng: y.(x + y) + (x – y).(x + y) = x(x + y)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có: VT = y.( x+ y) + (x – y).(x+ y)

= xy + y² + x² + xy – xy – y²

= xy + x²

= x(y + x)

= VP

Bài tập 5. Chứng minh rằng: x(x + 1 – 2y) + y(1 – 2y) = (xy + x + y).(x – 2y + 1) – xy(x – 2y)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VP = (xy + x + y).(x – 2y + 1) – xy(x – 2y)

= x²y – 2xy² + xy + x² – 2xy + x + xy – 2y² + y – x²y + 2xy²

= (x²y – x²y) + (- 2xy² + 2xy²) + (xy – 2xy + xy) + x² + x + y – 2y²

= -2xy + x² + x + y – 2y² (1)

VT = x(x + 1 – 2y) + y(1 – 2y)

= x² + x – 2xy + y – 2y² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: VT = VP.

Bài tập 6. Chứng minh (xy + x – 1).(x – y) – xy(x – y + 1) = -2xy – x + y

Lời giải:

Chứng minh

VT = (xy + x – 1)(x – y) – xy(x – y + 1)

= x²y – xy² + x² – xy – x + y – x²y + xy² – xy

= (x²y – x²y) + (xy² – xy²) + (-xy – xy) – x + y

= -2xy – x + y

= VP

Bài tập 7. Chứng minh y(x² – 2x + 2) = x(x + xy – 1) + (x – 2y).(x – 1) – 2x(x – 1)

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VP = x(x + xy – 1) += (x – 2y).(x – 1) – 2x(x – 1)

= x² + x²y – x + x² – x – 2xy + 2y – 2x² + 2x

= x²y – 2xy + 2y

= y(x² – 2x + 2)

= VT

Bài tập 8. Chứng minh (x + y – xy).(x – 1) – x(x + 2y – 2) = -y(x² + 1)

Tham Khảo Thêm: Tập làm văn lớp 5: Tả ca sĩ đang biểu diễn Noo Phước Thịnh Tả một ca sĩ đang biểu diễn

Lời giải:

Chứng minh

Ta có:

VT = (x + y – xy).(x – 1) – x(x + 2y – 2)

= x² – x + xy – y – x²y + xy – x – x² – 2xy + 2x

= (x² – x²) + (2x – x – x) + (xy + xy – 2xy) – x²y – y

= -x²y – y

= -y(x² + 2)

= VP

Bài tập 9. Chứng minh x(x + y²) – y(x – y) = ( -xy + x² + y²)(x + 1) – x²(x + y)

Lời giải:

Chứng minh

VP = (-xy + x² + y²)(x + 1) – x²(x – y)

= -x²y – xy + x³ + x² + xy² + y² – x³ + x²y

= (-x²y + x²y) + (x³ – x³) + x² + y² + xy² – xy

= x² + y² + xy² – xy (1)

VT = x(x + y²) – y(x – y)

= x² + xy² – xy + y² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: x(x + y²) – y(x – y) = (-xy + x² + y²)(x + 1) – x²(x + y)

Bài tập 10. Chứng minh (xy + x + 1).(y – 2) + xy + 2 = y(xy + 1) – 2x

Lời giải:

Chứng minh

VT = (xy + x + 1).(y – 2) + xy + 2

= xy² – 2xy + xy – 2x + y – 2 + xy + 2

= xy² + (xy + xy – 2xy) – 2x + y + (2 – 2)

= xy² – 2x + y

= (xy² + y) – 2x

= y(xy + 1) – 2x

IV. Bài tập tự luyện chứng minh đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng

$frac{1}{{1sqrt 2 }} + frac{1}{{2sqrt 3 }} + frac{1}{{3sqrt 4 }} + ... + frac{1}{{nsqrt {n + 1} }} > 2left( {1 - frac{1}{{sqrt {n + 1} }}} right)$

Bài 2: Chứng minh rằng

$2sqrt n - 2 < frac{1}{{sqrt 1 }} + frac{1}{{sqrt 2 }} + frac{1}{{sqrt 3 }} + .... + frac{1}{{sqrt n }} < 2sqrt n - 1$ với mọi số nguyên dương $n geqslant 2$

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3 ta có:

$frac{1}{{{1^3}}} + frac{1}{{{2^3}}} + frac{1}{{{3^3}}} + .... + frac{1}{{{n^3}}} < frac{{65}}{{54}}$

Bài 4: Chứng minh rằng

$frac{{43}}{{44}} < frac{1}{{2sqrt 1 + 1sqrt 2 }} + frac{1}{{3sqrt 2 + 2sqrt 3 }} + ... + frac{1}{{2002sqrt {2001} + 2001sqrt {2002} }} < frac{{44}}{{45}}$

Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết Chứng minh đẳng thức: cách chứng minh và bài tập Ôn tập Toán 9 của Neu-edutop.edu.vn nếu thấy bài viết này hữu ích đừng quên để lại bình luận và đánh giá giới thiệu website với mọi người nhé. Chân thành cảm ơn.

I. Cách chứng minh đẳng thức

II. Ví dụ chứng minh đẳng thức

III. Bài tập chứng minh đẳng thức (Có đáp án)

IV. Bài tập tự luyện chứng minh đẳng thức

Bài Viết Liên Quan