Bất đẳng thức Tam giác là gì và những điều cần biết

Bất đẳng thức đáng nhớ là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học cho các em học sinh. Có rất nhiều bất đẳng thức mà học sinh phải ghi nhớ khi còn ngồi trên ghế nhà trường.  Một trong số đó là bất đẳng thức tam giác. Vậy bất đẳng thức mincopxki là gì, công thức vận hành như thế nào thì hãy cùng Reviewedu.net tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé!

Bất đẳng thức Tam giác Là gì?

Bất đẳng thức tam giác cho biết rằng trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Ví dụ: Với ΔABC với BC = a, AC = b, AB = c, ta có các bất đẳng thức:

|b-c|<a<b+c

|a-c|<b<a+c

|a-b|<c<a+b

Chứng minh bất đẳng thức Tam giác

Ví dụ: Cho tam giác ABC như hình bên dưới.

Ta có:

• AB + BC > AC
• AB + AC > BC
• BC + CA > AB

Chứng minh:

Từ đỉnh A, kẻ AH vuông góc với BC (H nằm trên BC)

Ta có: AB > HB; AC > HC (quan hệ giữa đường xiên và hình chéo)

⇒ AB + AC > HB + HC

Mà HB + HC  =BC

⇒ AB + AC > BC (điều phải chứng minh)

Chứng minh tương tự, chúng ta cũng sẽ có AB + AC > BC và BC + CA > AB

Hệ quả bất đẳng thức

Từ bất đẳng thức trên, có thể suy ra hệ quả:

Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại

Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại

Giả sử, chúng ta có tam giác ABC, thì:

|AB – BC| < AC < AB + BC

Bài tập áp dụng của bất đẳng thức tam giác

Bài tập 1: Kích thước của một tam giác là (x + 2) cm, (2x + 7) cm và (4x + 1). Tìm các giá trị có thể có của x là số nguyên.

Lời giải:

Áp dụng định lý bất đẳng thức tam giác. Cho a = (x + 2) cm, b = (2x + 7) cm và c = (4x + 1) cm

(x + 2) + (2x + 7)> (4x + 1)

3x + 9> 4x + 1

3x – 4x> 1 – 9

– x> – 8

Chia cả hai vế cho – 1 và đảo ngược hướng của biểu tượng bất đẳng thức.

x <8 (x + 2) + (4x +1)> (2x + 7)

5x + 3> 2x + 7

5x – 2x> 7 – 3

3x> 4

Chia cả hai vế cho 3 để được;

x> 4/3

x> 1,3333.

(2x + 7) + (4x + 1)> (x + 2)

6x + 8> x + 2

6x – x> 2 – 8

5x> – 6

x> – 6/5 …………… (không thể)

Kết hợp các bất đẳng thức hợp lệ.

1,333 <x <8

Do đó, các giá trị nguyên có thể có của x là 2, 3, 4, 5, 6 và 7.

Bài tập 2: Cho các số đo sau: 6cm, 10cm, 17cm. Kiểm tra xem ba số đo có thể tạo thành một tam giác không?

Lời giải:

Cho a = 6cm, b = 10cm và c = 17cm

Theo định lý bất đẳng thức tam giác, ta có;

a + b> c

⇒ 6 + 10> 17

⇒ 16> 17 ………. (sai, 17 không nhỏ hơn 16)

a + c> b

⇒ 6 + 17> 10

⇒ 23> 10 …………. (thật)

b + c> a

10 + 17> 6

17> 6 ………. (thật)

Vì một trong các điều kiện là sai, do đó, ba số đo không thể tạo thành một tam giác.

Bài tập 3: Cho 3 số đo sau: 4mm, 7mm và 5mm. Kiểm tra xem có thể tạo thành một tam giác hay không?

Lời giải:

Cho a = 4mm. b = 7mm và c = 5mm. Áp dụng định lý bất đẳng thức tam giác:

a + b> c

⇒ 4 + 7> 5

⇒ 11> 5 ……. (thật)

a + c> b

⇒ 4 + 5> 7

⇒ 9> 7 …………. (thật)

b + c> a

⇒7 + 5> 4

⇒ 12> 4 ……. (thật)

Vì cả ba điều kiện đều đúng nên có thể tạo thành một tam giác với các số đo đã cho.

Xem thêm:

Bất đẳng thức số phức là gì và những điều cần biết

Bất đẳng thức cơ bản là gì và những điều cần biết

Bất đẳng thức bunhiacopxki là gì và những điều cần biết