Bất đẳng thức bernoulli là gì và những điều cần biết

Bất đẳng thức đáng nhớ là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học cho các em học sinh. Có rất nhiều bất đẳng thức mà học sinh phải ghi nhớ khi còn ngồi trên ghế nhà trường.  Một trong số đó là bất đẳng thức bernoulli. Vậy bất đẳng thức bernoulli là gì, công thức vận hành như thế nào thì hãy cùng Reviewedu.net tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé!

Bất đẳng thức bernoulli là gì?

Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x.

Bất đẳng thức này được phát biểu như sau:

<math>(1 + x)^r geq 1 + rx!</math>

với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1. Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x. Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau:

<math>(1 + x)^r > 1 + rx!</math>

với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0.

Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác. 

Chứng minh bất đẳng thức bernoulli

Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

Chứng minh:

Khi r=0, bất đẳng thức trở thành <math>(1+x)^0 ge 1+0x</math> tức là <math>1ge 1</math> mà rõ ràng đúng.

Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: <math>(1+x)^k ge 1+kx</math>

Cần chứng minh: <math>(1+x)^{k+1} ge 1+(k+1)x</math>

Thật vậy, <math>(1+x)^{k+1} = (1+x)(1+x)^k ge (1+x)(1+kx)</math> (vì theo giả thiết <math>(1+x)ge 0</math>) <math>= 1+kx+x+kx^2 = 1+(k+1)x + kx^2 ge 1+(k+1)x</math> (vì <math>kx^2 ge 0</math>)

=> Bất đẳng thức đúng với r=k+1.

Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi <math>rge 0 Box ;</math>

Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì

<math>(1 + x)^r geq 1 + rx!</math>

với r ≤ 0 hoặc r ≥ 1, và

<math>(1 + x)^r leq 1 + rx!</math>

với 0 ≤ r ≤ 1.

Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm.

Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên.

Bài tập ứng dụng

Bài toán 1. Cho α là một số thực nằm trong đoạn [0; 1]. Chứng minh rằng: 1 + α ≥ 2α ≥ 1 + α 2 Chứng minh. Do α ∈ [0; 1] nên áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có: 2α + (α − 1) ≤ 2α ⇔ 2α ≤ α + 1 (1) Mặt khác, do 1 − α ∈ [0; 1] nên theo (1) ta có: 21−α + (1 − α − 1) ≤ 2(1 − α) ⇔ 21−α ≤ 2 − α Từ đó suy ra: 2 2α ≥ (2) 2−α Bây giờ ta chứng minh: 2 ≥ 1 + α2 (3) 2−α Thật vậy, dễ thấy bất đẳng thức (3) tương đương với bất đẳng thức đúng α(α − 1)2 ≥ 0 Vậy: 1 + α ≥ 2α ≥ 1 + α2 Bài toán 2. Cho α1 , α2 , α3 , . . . , αm (m ≥ 1) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện α1 2 + α2 2 + · · · + αm 2 = 1.Chứng minh: 2α1 + 2α2 + · · · + 2αm ≥ m + 1 Chứng minh. Thật vậy, từ α1 2 + α2 2 + · · · + αm 2 = 1 ta suy ra được: α1 ∈ [0; 1]; α2 ∈ [0; 1]; . . . ; αm ∈ [0; 1] 2

Bài toán 2: Áp dụng bất đẳng thức 2α ≥ 1 + α2 lần lượt cho α1 , α2 , α3 , . . . , αm (m ≥ 1) Ta có: 2α1 ≥ 1 + α1 2 2α2 ≥ 1 + α2 2 … 2αm ≥ 1 + αm 2 Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được: 2α1 + 2α2 + · · · + 2αm ≥ 1 + 1 + · · · + 1 +(α1 2 + α2 2 + · · · + αm 2 ) m hay: 2α1 + 2α2 + · · · + 2αm ≥ m + 1 3

Xem thêm:

Bất đẳng thức hoán vị

Bất đẳng thức mincopxki

Bất đẳng thức tam giác